百鸽

「黑羽-重装铠翼鸦」の『フィールドの楔カウンターが置かれたモンスターを全て破壊する』モンスター効果の処理時に、裏側守備表示になっているモンスターは楔カウンターが取り除かれていますので、そのモンスター（＝質問の状況の場合、「御用守护者」）は破壊される事はありません。

「御用守护者」がエクストラモンスターゾーンに存在する融合・シンクロ・エクシーズモンスターを戦闘で破壊し墓地へ送った時には、その「御用守护者」のモンスター効果を発動し、守備表示で特殊召喚する事ができます。

「御用守护者」がエクストラモンスターゾーンに存在するリンクモンスターを戦闘で破壊し墓地へ送った時には、その「御用守护者」のモンスター効果を発動する事はできません。

質問の状況の場合、チェーンして発動した「月之书」の効果によって、モンスターゾーンに表側攻撃表示で存在するシンクロモンスターは1体も存在しない状態となっており、『フィールド上のシンクロモンスターを全て表側守備表示にする』処理を適用する事ができません。

この場合には、『このターンのエンドフェイズ時にフィールド上のシンクロモンスターを全てエクストラデッキに戻す』処理も適用されません。

「御用守护者」と「巨人斗士」のモンスター効果は、どちらもダメージステップ終了時に任意に発動する事ができる効果となりますので、ターンプレイヤーがコントロールしているモンスターの効果をチェーン1として、チェーンにてそれぞれ発動と処理を行います。

この時、「御用守护者」のモンスター効果がチェーン1、「巨人斗士」のモンスター効果がチェーン2となる場合には、「巨人斗士」は自身のモンスター効果によって特殊召喚され、墓地に存在しなくなっていますので、「御用守护者」の『そのモンスターを自分フィールドに守備表示で特殊召喚する』処理は適用されません。

逆に、「巨人斗士」のモンスター効果がチェーン1、「御用守护者」のモンスター効果がチェーン2となる場合には、「巨人斗士」は「御用守护者」のモンスター効果によって特殊召喚され、墓地に存在しなくなっていますので、「巨人斗士」の『自分または相手の墓地の戦士族モンスター１体を選択し、自分フィールド上に特殊召喚できる』処理は適用されません。

相手のモンスターゾーンに存在する、元々の持ち主が自分のモンスターを、「御用守护者」が戦闘で破壊した場合でも、そのモンスター効果を発動する事はできます。
（質問の状況の場合、「十手武士」が自分の墓地から自分のモンスターゾーンに守備表示で特殊召喚される事になります。）