百鸽

発動できます。

その処理時には、『自分の全ての手札の中から、相手がランダムに１枚選び、自分はそのカードを捨てる』処理を行います。捨てられたカードが「未界域的大脚怪」ではなかった場合、『手札から「未界域的大脚怪」１体を特殊召喚』の処理を適用し、『自分はデッキから１枚ドローする』処理を行わずに効果処理を完了します。

以下の「未界域」モンスターについても同様です。
「未界域的尼斯水怪」
「未界域的卓柏卡布拉」
「未界域的鹿角兔」
「未界域的雷鸟」
「未界域的狼人」
「未界域的天蛾人」
「未界域的槌子蛇」
「未界域的奥古布古」

発動できます。

処理時にその状況になっている場合でも、『自分の全ての手札の中から、相手がランダムに１枚選び、自分はそのカードを捨てる』処理を行います。捨てられたカードが「未界域的尼斯水怪」ではなかった場合、そこで効果処理を完了します。（効果を発動した「未界域的尼斯水怪」は手札に残ります。）

以下の「未界域」モンスターについても同様です。
「未界域的大脚怪」
「未界域的卓柏卡布拉」
「未界域的鹿角兔」
「未界域的雷鸟」
「未界域的狼人」
「未界域的天蛾人」
「未界域的槌子蛇」
「未界域的奥古布古」

モンスターの特殊召喚が行えない状況でも、手札の「未界域的大脚怪」のモンスター効果を発動できます。

その場合、『自分の全ての手札の中から、相手がランダムに１枚選び、自分はそのカードを捨てる』処理は通常通り適用されますが、捨てられたカードが「未界域的大脚怪」ではなかった場合、『さらに手札から「未界域的大脚怪」１体を特殊召喚し、自分はデッキから１枚ドローする』処理は適用されません。（特殊召喚する処理及びドローする処理は適用されず、効果を発動した「未界域的大脚怪」は手札に残ります。）

なお、『自分の全ての手札の中から、相手がランダムに１枚選び、自分はそのカードを捨てる』処理によって捨てられたカードが「未界域的大脚怪」だった場合には、テキスト通り処理が完了し、捨てられた「未界域的大脚怪」の『②：このカードが手札から捨てられた場合、相手フィールドの表側表示のカード１枚を対象として発動できる。そのカードを破壊する』モンスター効果を発動するかどうかを選びます。

以下の「未界域」モンスターについても同様です。
「未界域的尼斯水怪」
「未界域的卓柏卡布拉」
「未界域的鹿角兔」
「未界域的雷鸟」
「未界域的狼人」
「未界域的天蛾人」
「未界域的槌子蛇」
「未界域的奥古布古」

相手が手札の「未界域的鹿角兔」のモンスター効果を発動した時、チェーンして手札の「灰流丽」のモンスター効果を発動する事はできます。

その場合、相手の「未界域的鹿角兔」のモンスター効果は無効になりますので、「未界域的鹿角兔」は手札に残ります。

質問の状況の場合、戦闘によって破壊された「未界域的鹿角兔」は元々の持ち主が相手のモンスターですので、相手の墓地へと送られる事になりますが、自分のモンスターゾーンで相手モンスターとの戦闘によって破壊されていますので、「激动的未界域」の『その相手モンスターを破壊する』効果を発動する事ができます。