百鸽

発動できます。
「幻影骑士团 锈蚀月刃斧」の②の効果はモンスターゾーンで発動できる誘発効果ですので、この効果を発動するためにはテキストに記載された条件を満たしつつ、この効果を発動可能なタイミングでその「幻影骑士团 锈蚀月刃斧」がモンスターゾーンに存在する必要があります。
上記の状況の場合、効果の発動の条件である『このカードのリンク先に闇属性Xモンスターが特殊召喚された』は「急袭猛禽-武力林鸮」の特殊召喚によって満たされており、X召喚後に「幻影骑士团 锈蚀月刃斧」はモンスターゾーンに存在しますので、②の効果を発動することができます。

自分のモンスターゾーンに表側表示で存在する「急袭猛禽」と名のついたモンスターが相手モンスターの攻撃対象に選択された時でなければ、手札の「急袭猛禽-推进林鸮」のモンスター効果を発動する事はできません。

質問の状況のように、裏側守備表示の状態で相手モンスターに攻撃され、その戦闘で破壊され墓地へ送られた「急袭猛禽-武力林鸮」も、『このターンに戦闘で破壊され自分の墓地へ送られた「急袭猛禽」Xモンスター』となりますので、このターンに自分は「升阶魔法-死亡双力」を発動する事はできます。

「急袭猛禽-武力林鸮」の効果によって、アップする攻撃力・守備力は、「急袭猛禽-武力林鸮」自身を除く、自分のモンスターゾーンに表側表示で存在する鳥獣族モンスターの数の合計×５００となります。

魔法＆罠ゾーンに存在する鳥獣族モンスターの数は含みません。

「雷破」の効果によって、効果を発動した「急袭猛禽-武力林鸮」自身が破壊されている場合でも、その効果処理は通常通り適用されます。
（デッキから鳥獣族・闇属性・レベル４モンスター１体を手札に加えます。）

質問のようにデッキからカードを選んで処理を行う事はできません。

「急袭猛禽-武力林鸮」の効果でデッキから手札に加える事ができるのは、鳥獣族・闇属性・レベル４の全てを満たしているモンスターのみです。