百鸽

墓地へ送られた「蒲公英狮」の効果は、自身が墓地へ送られた場合に必ず発動する効果です。
また、墓地の「太阳神之翼神龙-不死鸟」の自身を特殊召喚する効果も、「太阳神之翼神龙」がフィールドから自分の墓地へ送られた場合に必ず発動する効果となりますが、この効果の発動に対しては自分も相手もチェーンして効果を発動する事はできません。

質問の状況の場合、自分が任意の順番でチェーンを組んで処理を行う事になります。

チェーン1に「蒲公英狮」の効果を発動し、チェーン2に「太阳神之翼神龙-不死鸟」の効果を発動するとした場合には、それぞれの効果は通常通り処理を行う事になります。

この時、逆にチェーン1として「太阳神之翼神龙-不死鸟」の効果を発動した場合には、この効果の発動にチェーンして効果を発動する事ができませんので、墓地へ送られた「蒲公英狮」の効果は結果的に発動する事ができません。
（「太阳神之翼神龙-不死鸟」の効果のみを発動し、処理を行う事になります。）